トロピカル幾何学というより計算(3)
もうみんなは計算に慣れたかな？
ん？ 前回のこと？ なんのことかしら。
嫌な夢だったね。(誤植も多かったし)
さあ、計算に慣れたみんなに例題だよ。
\begin{eqnarray*}
(1\oplus 2)\otimes (1\oplus 2)
\end{eqnarray*}
はい。つまり$(1\oplus 2)^2$ということです。
\begin{eqnarray*}
(1\oplus 2)\otimes (1\oplus 2)&=&
max(1,2)+ max(1,2)\\\
&=&2+2\\\
&=&4
\end{eqnarray*}
ですね。もっと細かくちゃんと分配法則を使っても同じ結果になります。
\begin{eqnarray*}
(1\oplus 2)\otimes (1\oplus 2)&=&
( (1\oplus 2)\otimes 1)\oplus ( (1\oplus 2)\otimes 2)\\\
&=&
(1 \otimes 1)\oplus (2 \otimes 1)\oplus ( 1 \otimes 2)\oplus (2 \otimes 2)\\\
&=&
max(1+1,2+1,1+2,2+2)\\\
&=&
max(2,3,3,4)\\\
&=&4
\end{eqnarray*}
これ、実はよーく見ると、$(a\oplus b)^2=a^2\oplus b^2$
ということになってます。普通の計算だともちろん
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
であり、上の計算は公式を覚えてないか、まじめに分配法則を計算してない生徒の誤答例として挙げられるものになってます。
ちなみにこれのことを英語圏ではfreshman's dreamというらしいんです。日本語版のwikiでは「一年生の夢」と訳されてます。
余談ですけどこの訳語はどうなんでしょうね？ この式って習うの早くても中2、遅くとも中3ですから、日本ではあんまり一年生って感じじゃないなぁと。「初心者の夢」とか「初学者の夢」とかぐらいがいいんじゃないでしょうか。
そういうわけでテストで間違えたら、これはトロピカルでの計算規則に則りましたと言えば先生も許してくれるかもしれません。もちろんその場合はほかの問題もトロピカルな規則で計算してないとバツですし、学校の先生がこの演算規則を知っている可能性は極めて低いと思いますが。
ま、むしろ怒られるだろうね。
こんな感じで知っている計算も、なんだか違和感のある結果になります。
=======
しれっと上の例題では冪乗をやってますが、冪乗もトロピカルだと意味が変わるわけですね。冪乗の指数表記だと、その積がトロピカル的か否か分かりにくいので、ここはトロピカルの意味で和と積を取るよという記号として$tp(\;\;)$の形で書くことにします。
\begin{eqnarray*}
tp(3^4)&=&3\otimes 3\otimes 3\otimes3\\\
&=&3+3+3+3\\\
&=&3\times4\\\
&=&12
\end{eqnarray*}
つまりトロピカルな冪乗は普通の計算での積に対応しそうです。
もう少しトロピカルの冪乗についてみていきましょうか。指数法則はどうなってるんでしょう。
\begin{eqnarray*}
tp(3^4)\otimes tp(3^5)&=&
3\times 4+3\times 5\\\
&=& 3\times(4+5)\\\
&=& tp(3^{4+5})
\end{eqnarray*}
あら、普通に指数法則がいけそうです。
\begin{eqnarray*}
tp(3^0)\otimes tp(3^2)&=&
tp(3^0)\otimes 3\otimes 3\\\
tp(3^{0+2})&=& tp(3^0)\otimes 3\times 2\\\
tp(3^2)&=& tp(3^0)+ tp(3^2)\\\
\therefore tp(3^0)&=&0
\end{eqnarray*}
考えてみたら、$a^b=a\times b$ぽいなら、$a^0=a\times 0=0$ですから、妥当かもしれません。
\begin{eqnarray*}
tp(3^{-1})\otimes tp(3^1)&=&
tp (3^{-1})\otimes 3\\\
tp(3^{-1+1})&=& tp (3^{-1}) + 3\\\
tp(3^0)&=& tp (3^{-1}) + 3\\\
0&=& tp (3^{-1}) + 3\\\
\therefore tp (3^{-1})&=&-3
\end{eqnarray*}
これも割り算が通常の引き算ということにうまく対応してます。
\begin{eqnarray*}
tp(3^\frac{1}{2})\otimes tp(3^\frac{1}{2})&=& tp(3^{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}})\\\
tp(3^\frac{1}{2})+tp(3^\frac{1}{2})&=& tp(3^1)\\\
2tp(3^\frac{1}{2})&=&3\\\
tp(3^\frac{1}{2})&=&3\times \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
こうすれば冪乗もいけるっぽく思えます。つまり分数の積にすれば良いということなんでしょう。
==========
こうしてみると、トロピカルな計算は普通の計算に比べて、計算の「大変そうだなぁ」という度合いが一段ずつずれているイメージを持つことができます。
\begin{eqnarray*}
\begin{matrix}
tropic & 2\oplus 3 & 1\otimes 5& tp(3^4) \\\
nomal & max(2,3) & 1+5 & 3\times 4
\end{matrix}
\end{eqnarray*}
これをみていると、逆に計算の面倒さを反対にずらした代数があっても良いような気がします。今、そういうのを勝手にPolarとでも呼びましょうか。*1
\begin{eqnarray*}
\begin{matrix}
tropic & 2\oplus 3 & 1\otimes 5& tp(3^4)&... \\\
nomal & max(2,3) & 1+5 & 3\times 4&7^3\\\
polar &?&?&3\boxplus 4&7\boxtimes 3
\end{matrix}
\end{eqnarray*}
どうなんでしょうね？ そういう代数も何か面白みがあるんだろうか。
ひとまず積は非可換になるわけだが……。
ちなみに世の中にはminと$\times$を$\oplus, \otimes$とするmix-times代数なるものあるらしいです。こっちも単位元とか零元がどうなのか、いつかやってみましょうか。
*1:本来Polar algebraはmin-plus代数をtropicalと呼んだ場合の対、max-plus代数のことを言うとか言わないとか。ただmin-plusもmax-plusもひっくるめてtropicalと呼んでる人が多そう？
