物理のための微分形式練習(1-1)ゲージ場おぼえがき(1)

ゲージ理論というか、微分形式の練習のための前提条件としてのゲージ場の話まとめをしておきます。

この辺の話はいろんなサイトに書いてあるし、

「わかりやすい！　誰でもわかる物理動画」

みたいなので誰かしらがやってるでしょうから、そっちを見たほうが手っ取り早くわかった気になれるかと思います。

そういうの作ってよって言われても、もう10番煎じくらいでしょうから、再生数稼げないし、作る意味は皆無だと思ってます。世知辛いのよ。

そういうわかった気じゃなく、真面目に手を動かして本当になんのかなとやりたい方はペンと紙をご用意の上お付き合いください。

途中計算をしつこく書いてるので、確認しながら進めると、私の誤植もよく見つかるかと思います。

win-winですね。利害の一致。

まぁ、真面目にやると言っても、数学者じゃないから、テキトーに飛ばしてやっていくわけですけどね。ベクトル解析とか。

ベクトル解析は、真面目に全成分書き下せばそうなることはいずれわかりますから、やりたい人はやってみましょう。

だいたいそもそもここのブログ見ている人には既知な内容な気もしますから、誤植あったら教えてください*1。

Maxwell方程式

本ブログでみていくMaxwell方程式は基本、
\begin{eqnarray}
&&\nabla \cdot {{\bf E}}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
&&\nabla \times{{\bf B}}=\mu_0 {\bf j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}\\
&&\nabla \times{{\bf E}}=-\frac{\partial{\bf B}}{\partial t}\\
&&\nabla \cdot {{\bf B}}=0
\end{eqnarray}
である。

ここで$\nabla$は
\begin{eqnarray}
\nabla=\left( \frac{\partial}{\partial{x}},\frac{\partial}{\partial{y}},\frac{\partial}{\partial{z}} \right)
\end{eqnarray}
という演算子で、ナブラと呼ばれる微分のカタマリである。

微分をベクトル的に方向ごとにまとめると色々便利なのだ。

そのためこのMaxwell方程式はしばしば「微分形のMaxwell方程式」と呼ばれる。

ベクトル解析のStokesの公式やGaussの公式
\begin{eqnarray}
\int_S\nabla \times{{\bf A}}\cdot d{\bf S}&=&\oint_C {\bf A}\cdot d{\bf l}\;\;(Stokes)\\
\int_V\nabla \cdot {{\bf A}} d{V}&=&\oint_S {\bf A}\cdot d{\bf S}\;\;(Gauss)
\end{eqnarray}
を利用することでこれらの方程式は、
\begin{eqnarray*}
\int_V\nabla \cdot {{\bf E}}dV&=&\oint_S{\bf E}\cdot d{\bf S}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho dV=\frac{1}{\epsilon_0}Q_{\in V}\\
\int_S\nabla \times{{\bf B}}\cdot d{\bf S}&=&\oint_C {\bf B}\cdot d{\bf l}=\mu_0\oint_C {\bf H}\cdot d{\bf l}\\
&=&\mu_0 \int_S{\bf j}\cdot d{\bf S}+\mu_0\frac{\partial}{\partial{t}}\int_S\epsilon_0{\bf E}\cdot d{\bf S}
=\mu_0 I_{\in S}+\mu_0\frac{\partial{\Phi_E}}{\partial t}\\
\int_S\nabla \times{{\bf E}}\cdot d{\bf S}&=&\oint_C {\bf E}\cdot d{\bf l}\\
&=&-\frac{\partial}{\partial{t}}\int_S{\bf B}\cdot d{\bf S}=-\frac{\partial{\Phi}}{\partial t}\\
\int_V\nabla \cdot {{\bf B}}dV&=&\oint_S{\bf B}\cdot d{\bf S}=0
\end{eqnarray*}

まとめて、

\begin{eqnarray*}
&&\oint_S{\bf E}\cdot d{\bf S}=\frac{Q}{\epsilon_0}\\
&&\oint_C {\bf H}\cdot d{\bf l}=I+\frac{\partial{\Phi_E}}{\partial t}\\
&&\oint_C {\bf E}\cdot d{\bf l}=-\frac{\partial\Phi}{\partial t}\\
&&\oint_S{\bf B}\cdot d{\bf S}=0
\end{eqnarray*}

という積分の形にできる。

途中で定義した${\bf H}$は(補助)磁場*2、$\Phi$は磁束、$\Phi_E$は電束と呼ばれる量である。

磁束はまだよく聞くかもしれないが、それの類推で電束も定義されるわけだ。
ここで式の添え字にある$\in V,\in S$はその領域内に含まれるモノをカウントするという意味の略記である。

この結果はそれぞれガウスの法則、アンペール(・マクスウェル)の法則、ファラデーの(電磁誘導の)法則、磁場におけるガウスの法則で、ともすると高校生でも聞いたことがあるかもしれない。

結局積分とベクトルだけで書けるから、ベクトル解析を深く知らないうちはこっちの積分形を主に学んで、Maxwell方程式と呼ぶことが多い。

しかし、一度ベクトル解析を知ると、前者微分系の方がシンプルだし、微分方程式なら解き方がある程度わかるということもあってか、微分系のMaxwell方程式を特にMaxwell方程式と呼ぶことが多い。

特に、ふつう素粒子の界隈ではMaxwell方程式と言ったら微分系Maxwell方程式を指すようで、ウチの教授なんかには「積分形なんて言い方するんだ」「(積分形の方を指し)それMaxwell方程式って呼ぶ人初めてみた」と言われたほどである。

ポテンシャルによる表記

以上のMaxwell方程式は電場や磁場での記述だが、これをポテンシャル$\phi$やベクトルポテンシャル${\bf A}$といった別の量で表現することも可能である。
\begin{eqnarray*}
{\bf E}&=&-\nabla{\phi}-\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\\
{\bf B}&=&\nabla \times{{\bf A}}
\end{eqnarray*}

こんなふうに導入して、

\begin{eqnarray}
&&-\nabla \cdot\nabla{\phi}-\nabla \cdot\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
&&\nabla \times\nabla \times{{\bf A}}=\mu_0 {\bf j}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\nabla{\phi}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\\
&&-\nabla \times\nabla{\phi}-\nabla \times\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial t}\nabla \times{{\bf A}}\\
&&\nabla \cdot\nabla \times{{\bf A}}=0
\end{eqnarray}

こうすると下二つはベクトル解析の恒等式から$0$といえます。

\begin{eqnarray}
&&\nabla \times(\nabla{\phi})=0\\
&&\nabla \cdot (\nabla \times{{\bf A}})=0
\end{eqnarray}

同じくベクトル解析の式として、

\begin{eqnarray}&&\nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^2\phi\\\ &&\nabla \times \nabla \times{\bf A}=\nabla( \nabla\cdot {\bf A} )-\nabla^2 {\bf A}\end{eqnarray}

があるので、上の二つの式は、

\begin{eqnarray}&&-\nabla^2{\phi}-\nabla \cdot\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
&&\nabla(\nabla\cdot {\bf A})-\nabla^2{\bf A}=\mu_0 {\bf j}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\nabla{\phi}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\end{eqnarray}

を経て、下の式はもう少し変形し、

\begin{eqnarray}&&\nabla(\nabla\cdot {\bf A})-\nabla^2{\bf A}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\nabla{\phi}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2}=\mu_0 {\bf j}\\\ &&\nabla\left(\nabla\cdot {\bf A}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}{\phi}\right)-\left(\nabla^2-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right){\bf A}=\mu_0 {\bf j}\end{eqnarray}

以上から二式は$\mu_0\epsilon_0=\frac{1}{c^2}$であることを用い、

\begin{eqnarray}&&-\nabla^2{\phi}-\nabla \cdot\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
&&\nabla\left(\nabla\cdot {\bf A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}{\phi}\right)-\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right){\bf A}=\mu_0 {\bf j}\end{eqnarray}

さて、ここで相対論のことを考えると、$t$はそのままより$ct$の組になっている方が纏めやすい。

そこで一式目を$c$で割り、その他$ct,cdt$をまとめるよう努力すると、

\begin{eqnarray}&&-\nabla^2\frac{\phi}{c}-\nabla \cdot\frac{\partial {\bf A}}{\partial (ct)}=\frac{\rho}{c\epsilon_0}=\frac{c\rho}{c^2\epsilon_0}=\mu_0 c\rho\\
&&\nabla\left(\nabla\cdot {\bf A}+\frac{\partial}{\partial (ct)}\frac{\phi}{c}\right)-\left(\nabla^2-\frac{\partial^2}{\partial (ct)^2}\right){\bf A}=\mu_0 {\bf j}\end{eqnarray}

ここで、いわゆるゲージ固定条件を考える。

ローレンツ条件$\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla\cdot{\bf A}=0$の場合、

\begin{eqnarray}&&-\nabla^2\frac{\phi}{c}-\frac{\partial}{\partial (ct)}\underline{\nabla \cdot{\bf A}}\\ &=&-\nabla^2\frac{\phi}{c}+\frac{\partial}{\partial (ct)}\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}\\ &=&-\nabla^2\frac{\phi}{c}+\frac{\partial^2}{\partial (ct)^2}\frac{\phi}{c}\\ &=&\left(\frac{\partial^2}{\partial (ct)^2}-\nabla^2\right)\frac{\phi}{c}=\mu_0 c\rho\\ &&\nabla\underline{\left(\nabla\cdot {\bf A}+\frac{\partial}{\partial (ct)}\frac{\phi}{c}\right)}-\left(\nabla^2-\frac{\partial^2}{\partial (ct)^2}\right){\bf A}\\ &=&\left(\frac{\partial^2}{\partial (ct)^2}-\nabla^2\right){\bf A}=\mu_0 {\bf j}\end{eqnarray}

このように、綺麗に式がまとまる。

\begin{eqnarray*}&&\left(\frac{\partial^2}{\partial (ct)^2}-\nabla^2\right)\frac{\phi}{c}=\mu_0 (c\rho)\\&&\left(\frac{\partial^2}{\partial (ct)^2}-\nabla^2\right){\bf A}=\mu_0 {\bf j}\end{eqnarray*}

大変恣意的だが、このように見ると$(c\rho)$が${\bf j}$の仲間に見えてくるし、それと同じ対応で$\frac{\phi}{c}$も${\bf A}$の仲間としてみるべきに思える。

そう思えたらあなたもすっかり相対論の術中にはまっているのだよ。

そのあかつきには、

\begin{eqnarray*}&&\left(\frac{\partial^2}{\partial (ct)^2}-\nabla^2\right)A=\mu_0 J\end{eqnarray*}

となるだろうし、もっと相対論的にいえば、

\begin{eqnarray*}&&\square A^\nu=\mu_0 J^\nu\end{eqnarray*}

みたいになるのだが、この辺り$\square$の意味などは以下続々みていくことになる。

ここまでくるとMaxwell方程式もキレイというか妙にこざっぱりした印象になる。

計量、微分、ベクトル

Minkowski空間の計量の定義は

\begin{eqnarray}
g_{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{pmatrix}
=(+---),\;\;
g^{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
である。すなわち、
\begin{eqnarray}
(ds)^2=(cdt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2
\end{eqnarray}
である。計量の符号の取り方は、多様であるため、途中式や項の正負が他の文献と異なるところがあるかもしれない。様々な定義については補遺でまとめるつもり*3。計量を用いることで添字の上下を動かすことができる。
\begin{eqnarray*}
V_\mu V^\mu=g_{\mu\nu}V^\nu V^\mu=V^\nu V_\nu=V^\mu V_\mu
\end{eqnarray*}
ここで、上下に同じ添字が出てきた場合は添字を適切な数値(例えば(1+3)次元の時空なら0,1,2,3)で和を取ることを意味する。この添字はペアになってさえいれば和が取れるものなので、その文字そのものにはあまり深い意味はない*4。この規則に従うと、例えば、
\begin{eqnarray*}
V_\mu V^\mu&=&V_0V^0+V_1V^1+V_2V^2+V_3V^3\\
g_{\mu\nu}V^\nu V^\mu&=&g_{00}V^0V^0+g_{11}V^1V^1+g_{22}V^2V^2+g_{33}V^3V^3\\
&=&V^0V^0-V^1V^1-V^2V^2-V^3V^3
\end{eqnarray*}
となる。本稿では特筆しない限りギリシャ文字は時空間を表し0～3を、ローマ文字は空間を表し1～3をとるものとする。

偏微分もベクトルのようにして扱うことができる。添字の上げ下げについて、
\begin{eqnarray}
\partial_\mu&=&(\partial_0,\partial_i)=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial{t}},\frac{\partial}{\partial{x}},\frac{\partial}{\partial{y}},\frac{\partial}{\partial{z}}\right)\\
\partial^\mu&=&(\partial^0,\partial^i)=g^{\mu\nu}\partial_{\nu}=(g^{00}\partial_0,g^{11}\partial_1,g^{22}\partial_2,g^{33}\partial_3)\nonumber\\
&=&(\partial_0,-\partial_1,-\partial_2,-\partial_3)=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial{t}},-\frac{\partial}{\partial{x}},-\frac{\partial}{\partial{y}},-\frac{\partial}{\partial{z}}\right)\nonumber\\
&=&(\partial_0,-\partial_i)\\
\partial_\mu\partial^\mu&=&g^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu=\square
\end{eqnarray}
となる。$\square$はダランベール(d'Alembert)演算子、またはダランベルシアンと呼ばれる量で、三次元ユークリッド空間で言うところのラプラス(Laplace)演算子の四次元時空版の演算子になっている。

以上の定義から具体的な量を成分で表すことができる。例えばベクトルポテンシャル$A^\mu$やソース$J^\mu$は、
\begin{eqnarray}
A^\mu&=&\left(\frac{\phi}{c},A^i\right)=\left(\frac{\phi}{c},A_x,A_y,A_z\right)\\
A_\mu&=&\left(\frac{\phi}{c},A_i\right)=\left(\frac{\phi}{c},-A^i\right)=\left(\frac{\phi}{c},-A_x,-A_y,-A_z\right)\\
J^\mu&=&(c\rho,j^i)=(c\rho,j_x,j_y,j_z)\\
J_\mu&=&(c\rho,j_i)=(c\rho,-j^i)=(c\rho,-j_x,-j_y,-j_z)
\end{eqnarray}
と書ける。

*1:これ、texで昔書いたモノ移植しているから、パッケージありきでの記法で使えないコードがあったんですよ。かなり変換に手間かかっちゃってるから絶対変換ミスがある。pdvをpartialに直したり、そういうのばっかです。

*2:普通${\bf B}$は磁束密度と呼ばれる量であるが、特に素粒子系の人間は${\bf B}$を磁場と呼んでしまう。${\bf H}$は基本的に登場しない量なのだ。それだと${\bf H}$はなんと呼ぶのかというと、補助磁場、補助場などと呼ぶことがある。しかし補助場はまた別の用語で登場するのでややこしい。

*3:たとえば計量については$(-+++)$をとる流儀もある。これだと空間部分がユークリッド空間、つまり普通の三平方の定理の形になる。

*4:私がよく話す冗談。$V_も V^も$や$V^猫V_猫,\;V^@V_@$でもよいということである。