トロピカル幾何学というより計算(4)
さて、トロピカルの入り口から第四回。
いろいろなものをトロピカル化してしまおうという野望に向けて今日も張り切って参りましょう。
前回は指数法則がそのまま使えそうというところまで見ました。トロピカルの冪乗は通常世界での積演算になることを見たわけです。
\begin{eqnarray*}
tp(3^4)\otimes tp(3^5)&=&
3\times 4+3\times 5\\\
&=& 3\times(4+5)\\\
&=& tp(3^{4+5})\\\
&=& tp(3^{tp(4\otimes 5)})
\end{eqnarray*}
最後の一行は今回追加してます。前回はどうせ計算しちゃうしと普通の$+$を使っていましたが、完全にトロピカル化するなら、指数内もトロピカルに従わせるべきでしょう。ただ、念のためトロピカルと分かるよう、$tp(\;\;)$と明示しています。
今回手始めに、普通の世界での冪乗量はトロピカルでどう表すんでしょう。ひとまず二乗で想像してみましょう。相変わらず、$tp(\;\;)$の中はトロピカル的な計算をすることとします。
\begin{eqnarray*}
2^2&=&2\times 2=2+2 \overset{tp}{=} 2\otimes 2\\\
&=:&tp(2^2)\\\
3^2 &=& 3\times 3=3+3+3
\overset{tp}{=}3\otimes 3\otimes 3\\\
&=:&tp(3^3)\\\
4^2 &=& 4\times 4=4+4+4+4 \overset{tp}{=} 4\otimes 4\otimes 4\otimes 4\\\
&=:&tp(4^4)
\end{eqnarray*}
なんとなく想像できた？ 三乗だとどうかというと、
\begin{eqnarray*}
2^3&=& 2\times 2\times 2\\\
&=&(2+2)+(2+2)\\\
& \overset{tp}{=}& tp(2^2)\otimes tp(2^2)\\\
&=& tp( (2^2)^2)\\\
&=& tp( 2^4)\\\
&=& tp( 2^{tp(2^2)})\\\
3^3&=& 3\times 3\times 3\\\
&=&(3+3+3)+ (3+3+3) + (3+3+3)\\\
& \overset{tp}{=}&tp(3^3)\otimes tp(3^3) \otimes tp(3^3)\\\
&=& tp( (3^3)^3)\\\
&=& tp( 3^{9})\\\
&=& tp( 3^{tp(3^3)})\\\
\end{eqnarray*}
おおん？ じゃあ四乗は？
\begin{eqnarray*}
2^4&=& 2\times 2\times 2 \times 2\\\
&=&( (2+2)+(2+2) )+ ( (2+2)+(2+2) )\\\
& \overset{tp}{=}& (tp(2^2)\otimes tp(2^2) )\otimes (tp(2^2)\otimes tp(2^2) )\\\
&=& tp( (2^4))\otimes tp( (2^4))\\\
&=& tp( (2^4)^2 )\\\
&=& tp( 2^{8})\\\
&=& tp( 2^{tp( 2^{tp( 2^{2})})})\\\
3^4&=& 3\times 3\times 3\times 3\\\
&=&( (3+3+3)+(3+3+3)+(3+3+3) )\times 3\\\
& \overset{tp}{=}&tp( 3^{27})\\\
&=&tp( 3^{tp( 3^{tp( 3^{3})})})
\end{eqnarray*}
だんだん規則が掴めてきた気がします。どうも、
\begin{eqnarray*}
a^b
&=&
\overbrace{
tp( a^{
tp( a^{
tp( a^{...})
})
})
}^{b}\\\
\end{eqnarray*}
のようです。実際、
\begin{eqnarray*}
a^b
&=&
\underbrace{a\times a \times ...\times a}_{\text{b}}\\\
&=&
a\times
(\underbrace{a \times ...\times a}_{\text{b-1}})\\\
& \overset{tp}{=}&tp(a^{\overbrace{a \times ...\times a}^{\text{b-1}}})
\end{eqnarray*}
を繰り返していくことからも想像できます。
このような冪乗の冪乗、テトレーションというのですが、クヌース(Knuth)の矢印記号で表現することがあります。
\begin{eqnarray*}
2\uparrow \uparrow 2&=&2^{2}\\\
2\uparrow \uparrow 3&=&2^{2^{2}}\\\
2\uparrow \uparrow 4&=&2^{2^{2^2}}\\\
2\uparrow \uparrow 5&=&2^{2^{2^{2^2}}}\\\
\end{eqnarray*}
どんどん指数がミニサイズで表記されてなんだか可愛いですね。
このテトレーションってのは、足し算、掛け算、冪乗を一般化したハイパー演算子っていうものの四段目からきてます。
つまり、一段目が和。二段目が積、三段目が冪乗ということです。
それぞれが前の段階の演算の繰り返しになっているというわけです。
で、クヌースの矢印は冪乗を昔コンピュータじょうで$2^3=2\uparrow 3$と表現したことに由来するそうです。
クヌースの表記だと、さらに上の演算、テトレーションの繰り返し、ペンテーションとか、その繰り返しヘキセーションなんかも定義できます。
そういう場合は矢印の数を増やすので、まり増えると書きにくいことから矢印そのものに指数を書きます。
つまりペンテーションは$\uparrow \uparrow \uparrow = \uparrow ^3$、ヘキセーションは$\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow = \uparrow ^4$ということですね。
テトレーションはまあ二つなので$\uparrow \uparrow = \uparrow ^2$と書いても書かなくても良いかと思いますが、統一感を出すために以下は$ \uparrow ^2$表記にします。
そうすると、トロピカルなテトレーションが普通の世界の冪乗を表すことがわかります。
\begin{eqnarray*}
a^b
& \overset{tp}{=}&tp(a\uparrow^2 b)
\end{eqnarray*}
さて、こうなると、トロピカルな冪乗をいちいち$tp(\;\;)$で囲わず、クヌース矢印で表した方が良いような気がしてきます。つまり例えば、矢印の下添字でトロピカルだよとあらわすことにし、
\begin{eqnarray*}
tp(3^2):=3\uparrow_{t}2
\end{eqnarray*}
てことですね。
さて、以上をまとめると、こんな表が出来上がります。
念のためここにも書きますが、polarは計算の面倒さをトロピカル逆により面倒な方にしたものがあったら面白いよね、と勝手に命名したものです。
たぶんこういう数学があったとしてもこう呼ばれてはないかなと思います。
\begin{eqnarray*}
\begin{matrix}
tropic & 2\oplus 3 & 1\otimes 5& 3\uparrow_t 4&7\uparrow^2_t 3\\\
nomal & max(2,3) & 1+5 & 3\times 4&7^3\\\
polar &?&?&3\boxplus 4&7\boxtimes 3
\end{matrix}
\end{eqnarray*}
こうなると、やっぱり一番下のPolar(冗談)も気になってきますけどね……。
